Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-（sinx+cosx）（sinx-cosx）．
（1）若f（x）=1，求x的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若x∈[0，

π

2

]，求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），由f（x）=1，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求x的值；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，由不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即可求得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得該區(qū)間上函數(shù)y=f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=2

3

sinxcosx-（sinx+cosx）（sinx-cosx）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）=1，
∴sin（2x+

π

6

）=

1

2

，
∴2x+

π

6

=2kπ+

π

6

或2x+

π

6

=2kπ+

5π

6

（k∈Z），
∴x=kπ或x=kπ+

π

3

（k∈Z）．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）．
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（3）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴函數(shù)y=f（x）的值域為[-1，2]．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與閉區(qū)間上的值域，考查運算求解能力，屬于中檔題．