設x1，x2（x1＜x2）是函數(shù)f（x）=
a
3
x3+
b
2
x2-a2x（a＞0）的兩個極值點，且|x1|+|x2|=2．
（1）判定函數(shù)f（x）在區(qū)間（x1，x2）上的單調(diào)性；
（2）求a的取值范圍．
（1）由已知f'（x）=ax2+bx-a2
∵x1，x2（x1＜x2）是f（x）的兩個極值點．
∴x1，x2是f'（x）=0的兩個根．
即f'（x）=a（x-x1）（x-x2）（a＞0）（2分）
列表如下：
x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
由上表可知f（x）在區(qū)間（x1，x2）上單調(diào)遞減（6分）
（2）∵x1，x2是f′(x)=ax2+bx-a2的兩個根，
∴
x1+x2=-
b
a
x1x2=-a
，
∵a＞0，∴x1x2＜0，
又x1＜x2，∴x1＜0＜x2
∵|x1|+|x2|=2，
∴-x1+x2=2?(x1+x2)2-4x1x2=4（10分）
∴
b2
a2
+4a=4，∴b2=4a2（1-a）≥0
而a＞0，∴0＜a≤1（12分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0），且f（1）=-
a2
．
（1）求證：函數(shù)f（x）有兩個零點．
（2）設x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個零點，求|x1-x2|的范圍．
（3）求證：函數(shù)f（x）的零點x1，x2至少有一個在區(qū)間（0，2）內(nèi)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x1，x2為y=f（x）的定義域內(nèi)的任意兩個變量，有以下幾個命題：
①（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0；
②（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0；
③
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0；
④
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0．
其中能推出函數(shù)y=f（x）為增函數(shù)的命題為
①③
①③
．

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科目：高中數(shù)學 來源：廣東省2007年五校聯(lián)考調(diào)研數(shù)學試卷(理科)－蘇教版 題型：044

設x1，x2是的兩個極值點，f(x)的導函數(shù)是

(1)如果x1＜2＜x2＜4，求證：；

(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|＝2，求b的取值范圍；

(3)如果a≥2，且x2－x1＝2，x∈(x1，x2)時，函數(shù)的最小值為h(a)，求h(a)的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f(x)=-x-x3,設x1+x2≤0,給出下列不等式,其中正確不等式的序號是(   )

①f(x1)f(-x1)≤0       ②f(x2)f(-x2)>0       ③f(x1)+f(x2)≤f(-x1)+f(-x2)④f(x1)+f(x2)≥f(-x1)+f(-x2)

A.①③                  B.①④                  C.②③                  D.②④

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設x1，x2為y=f（x）的定義域內(nèi)的任意兩個變量，有以下幾個命題：
①（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0；
②（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0；
③
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0；
④
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0．
其中能推出函數(shù)y=f（x）為增函數(shù)的命題為______．

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