Question

設(shè)e₁，e₂分別是具有公共焦點F₁，F(xiàn)₂的橢圓和雙曲線的離心率，P是兩曲線的一個公共點，O是F₁，F(xiàn)₂的中點，且滿足|PO|=|OF₂|，則

e1e2

e 2 1 + e 2 2

=

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出橢圓的長半軸，雙曲線的實半軸，它們的半焦距，利用橢圓的和雙曲線的定義可得焦半徑，寫出兩個曲線的離心率，即可得到結(jié)果．

解答： 解：設(shè)橢圓的長半軸是a₁，雙曲線的實半軸是a₂，它們的半焦距是c
并設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，根據(jù)橢圓的和雙曲線的定義可得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
解得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
∵|PO|=|OF₂|，∴PF₁⊥PF₂，
由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²
∴（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²
化簡可得a₁²+a₂²=2c²
∴

1

e12

+

1

e22

=2
∴

e1e2

e 2 1 + e 2 2

=

1 1 e12 + 1 e22

=

1

2

=

2

2

，
故答案為：

2

2

．

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是得到兩個曲線的參數(shù)之間的關(guān)系，屬于中檔題．