設函數(shù)f（x）=
2
x-1
．
（1）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）當x∈[2，6]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．
考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，即取值、作差、變形、定號、下結論；
（2）根據(jù)（1）知函數(shù)y在[2，6]上單調(diào)遞減，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最大值和最小值．
解答： 證明：（1）設x1、x2是區(qū)間（1，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=
2
x1-1
-
2
x2-1
=
2(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)
，
由1＜x1＜x2得，x2-x1＞0，（x1-1）（x2-1）＞0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）解：由（1）知，函數(shù)f（x）=
2
x-1
在區(qū)間[2，6]上單調(diào)遞減，
∴當x=2時，函數(shù)的最大值f（x）max=f（2）=2，
當x=6時，函數(shù)的最小值f（x）min=f（6）=
2
5
．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義，及根據(jù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

無窮數(shù)列{an}的前n項和Sn=npan（n∈N*），并且a1≠a2．S10=45．
（1）求p的值；
（2）求{an}的通項公式；
（3）作函數(shù)f（x）=a2x+a3x2+…+an+1xn，證明：f（
1
3
）＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x-a|+2|x+1|．
（1）當a=2時，解不等式f（x）＞4．
（2）若不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定點M（0，1），N（1，-1），Q（1，0），動點P滿足2
MP
•
NP
=|
PQ
|2+1．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設動點P的軌跡與x軸的負半軸的交點為A，過點A作兩條斜率分別為k1，k2的直線交動點P的軌跡于B，C兩點，且k1k2=-2，試證明直線BC恒過一個定點，并求出該定點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1，橢圓上有一點P滿足∠PF1F2=90°，求△PF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在一個口袋內(nèi)裝有7個相同的球，其中三個球標有數(shù)字0，4個球標有數(shù)字1，若從袋中摸出3個球，那么摸出的三個球所標數(shù)字之和小于2或大于3的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-x2+a，x∈R的圖象在點x=0處的切線為y=bx．（e≈2.71828）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當x∈R時，求證：f（x）≥-x2+x；
（Ⅲ）若f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）=a+
2
2x+1
（x∈R）；
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求a值；
（2）在（1）的條件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=|
b
|=|
a
+
b
|=1，則向量
a
，
b
夾角的余弦值為
 
．

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