【題目】已知是定義在上的奇函數(shù),且,若時,有成立.

(1)判斷上的單調(diào)性,并用定義證明;

(2)解不等式;

(3)若對所有的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2);(3)

【解析】

(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,奇函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合判斷上的單調(diào)遞增;

(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論,以及函數(shù)的定義域,列出不等式組,求出x的范圍;

(3)根據(jù)(1)的結(jié)論和條件,將問題轉(zhuǎn)化為m2-2am+1≥1,即m2-2am≥0a∈[-1,1]恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(a)= -2ma+m2,進而求得m的取值范圍.

任取x1x2∈[-1,1]且x1<x2,則-x2∈[-1,1],

f(x)為奇函數(shù),∴f(-x2)= -f(x2),

f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

由已知得>0,<0,

f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增.

(2)∵f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,∴ ,解得

(3)∵f(1)=1,f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,∴在[-1,1]上,f(x)≤1.

問題轉(zhuǎn)化為m2-2am+1≥1,即m2-2am≥0,對a∈[-1,1]恒成立.

設(shè)g(a)=-2m·am2.

①若m=0,則g(a)=0≥0,對a∈[-1,1]恒成立.

②若m≠0,則g(a)為a的一次函數(shù),若g(a)≥0,對a∈[-1,1]恒成立,必須g(-1)≥0,且g(1)≥0,∴m≤-2或m≥2.

m的取值范圍是m=0或m≤-2或m≥2.

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