如圖所示，圓錐SO的軸截面△SAB是邊長為4的正三角形，M為母線SB的中點(diǎn)，過直線AM作平面β⊥面SAB，設(shè)β與圓錐側(cè)面的交線為橢圓C，則橢圓C的短半軸為


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    2
A
分析：過C作平行于圓錐底面的截面（圓形），交AS、BS于R、T，交橢圓C于兩點(diǎn)P、Q，則P、Q即是橢圓短半軸頂點(diǎn)，先利用軸截面△SAB是邊長為4的正三角形，C為AM的中點(diǎn)，計(jì)算RC，TC的值，再利用相交弦定理即可求得．
解答：解：過橢圓C作平行于圓錐底面的截面（圓形），交AS、BS于R、T，交橢圓C于兩點(diǎn)P、Q，則P、Q即是橢圓短半軸頂點(diǎn)
在所作的圓中，RT為直徑，如圖，
∵軸截面△SAB是邊長為4的正三角形，C為AM的中點(diǎn)
∴TC==2，RC==1，
∵PQ⊥RT，∴PC=CQ
∴利用相交弦定理可得：PC×CQ=TC×RC
∴
∴橢圓C的短半軸為
故選A．
點(diǎn)評：本題以圓錐為載體，考查圓錐的截面問題，考查橢圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定橢圓短半軸頂點(diǎn)．
練習(xí)冊系列答案
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（2011•泉州模擬）如圖所示，圓錐SO的軸截面△SAB是邊長為4的正三角形，M為母線SB的中點(diǎn)，過直線AM作平面β⊥面SAB，設(shè)β與圓錐側(cè)面的交線為橢圓C，則橢圓C的短半軸為（　　）

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(1)設(shè)f(x)為繩子最短長度的平方，求f(x)表達(dá)式；

(2)繩子最短時，頂點(diǎn)到繩子的最短距離；

(3)f(x)的最大值．

 

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如圖所示，圓錐SO的軸截面△SAB是邊長為4的正三角形，M為母線SB的中點(diǎn)，過直線AM作平面β⊥面SAB，設(shè)β與圓錐側(cè)面的交線為橢圓C，則橢圓C的短半軸為（ ）

A．
B．
C．
D．2

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