Question

設(shè)y=(log2x)2+（t-2）log₂x-t+1，若t在[-2，2]上變化時(shí)，y恒取正值，則x的取值范圍是

（0，

1

2

）∪（8，+∞）

．

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)f（t）=（log₂x-1）t+（log₂x）²-2log₂x+1，根據(jù)t∈[-2，2]時(shí)，f（t）恒為正值，可得f（-2）＞0，f（2）＞0，即可得到不等式，由此可確定x的取值范圍．

解答：解：構(gòu)造函數(shù)f（t）=（log₂x-1）t+（log₂x）²-2log₂x+1，
∵t∈[-2，2]時(shí)，f（t）恒為正值，
∴f（-2）＞0，f（2）＞0
∴-2（log₂x-1）+（log₂x）²-2log₂x+1＞0，2（log₂x-1）+（log₂x）²-2log₂x+1＞0
∴（log₂x）²-4log₂x+3＞0，（log₂x）²-1＞0
∴l(xiāng)og₂x＜-1或log₂x＞3，
即0＜x＜

1

2

或x＞8．
故答案為：（0，

1

2

）∪（8，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是變換主元，構(gòu)建新函數(shù)，屬于中檔題．