Question

已知函數(shù)f（x）=cos²ωx+

3

sinωx•cosωx（ω＞0）的最小正周期為π
（1）求f（

2π

3

）的值；
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（3）函數(shù)y=f（x）的圖象如何有y=sinx的圖象變換得到．

Answer 1

考點：五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）函數(shù)化簡可得f（x）=

1

2

+sin（2ωx+

π

6

），從而可求ω的值，進而可求f（

2π

3

）的值；
（2）分別令2x+

π

6

=0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，得到相應的x的值及y的值，再描點即可；
（3）利用左加右減的原則，以及縱橫坐標的伸縮變換，即可得到函數(shù)的解析式為y=f（x）對應的圖象．

解答：解：（1）∵f（x）=cos²ωx+

3

sinωx•cosωx=

1+cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=

1

2

+sin（2ωx+

π

6

），
∴由T=

2π

2ω

=π，可求得ω=1，
∴f（

2π

3

）=

1

2

+sin（2×

2π

3

+

π

6

）=-

1

2

．
（2）解：列表

2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 12	π 6	5π 12	2π 3	11π 12
y	1 2	3 2	1 2	- 1 2	1 2

圖象如圖如下：

（3））函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

π

6

單位，然后橫坐標縮短到原來的

1

2

，得到的函數(shù)的圖象再向上平移

1

2

個單位，即可得到函數(shù)y=f（x）的圖象．

點評：本題考查函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象平移與伸縮變換，五點作圖法，屬于基本知識的考查．