Question

(2014·武漢模擬)已知點(diǎn)P是圓M：x²+(y+m)²=8(m>0,m≠)上一動點(diǎn),點(diǎn)N(0,m)是圓M所在平面內(nèi)一定點(diǎn),線段NP的垂直平分線l與直線MP相交于點(diǎn)Q.
(1)當(dāng)P在圓M上運(yùn)動時,記動點(diǎn)Q的軌跡為曲線Г,判斷曲線Г為何種曲線,并求出它的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)過原點(diǎn)斜率為k的直線交曲線Г于A,B兩點(diǎn),其中A在第一象限,且它在x軸上的射影為點(diǎn)C,直線BC交曲線Г于另一點(diǎn)D,記直線AD的斜率為k′,是否存在m,使得對任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

（1）雙曲線  -=1
（2）存在，m=

(1)因?yàn)閨QN|=|QP|,
所以||QM|-|QN||=|PM|=2.
①當(dāng)2<2m時,動點(diǎn)Q的軌跡曲線Г為以點(diǎn)M,N為焦點(diǎn),2a=2為實(shí)軸的雙曲線,其標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
②當(dāng)2>2m時,動點(diǎn)Q無軌跡.
(2)如圖所示,

設(shè)A(x₁,y₁),D(x₀,y₀),則B(-x₁,-y₁),C(x₁,0).
則y₁=kx₁.
直線BC的方程為y=(x-x₁),即y=(x-x₁).
聯(lián)立化為(m²k²-2k²-8)x²-2k²(m²-2)x₁x+(m²-2)(k²-8)=0.
所以-x₁+x₀=,
所以k′==
=-.
若存在m,使得對任意的k>0,都有|k·k′|=1,
則=1,
整理得m²=6,解得m=±(負(fù)值舍去).
因此存在m,且當(dāng)m=時,滿足題意.