Question

設x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點．
（I）若x₁=-1，x₂=2，求函數f（x）的解析式；
（II）若，求b的最大值；
（III）設函數g（x）=f'（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），當x₂=a時，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出f′（x），因為x₁、x₂是函數f（x）的兩個極值點，而x₁=-1，x₂=2所以得到f′（-1）=0，f′（2）=0代入求出a、b即可得到函數解析式；
（II）因為x₁、x₂是導函數f′（x）=0的兩個根，利用根與系數的關系對已知進行變形得到a和b的等式，求出b的范圍，設p（a）=3a²（6-a），求出其導函數，利用導數研究函數的增減性得到p（a）的極大值，開方可得b的最大值；
（III）因為x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩根，所以f'（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）．根據兩個之積和x₂=a求出x₁，將x₁和導函數代入到g（x）=f'（x）-a（x-x₁）求出g（x）的絕對值，根據x的范圍化簡絕對值，再利用二次函數最值的方法得證即可．
解答：解 （I）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）
∴f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依題意有，
∴．
解得，
∴f（x）=6x³-9x²-36x．
（II）∵f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依題意，x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩個根，且，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=8．
∴，
∴b²=3a²（6-a）．
∵b²≥0，
∴0＜a≤6．
設p（a）=3a²（6-a），則p'（a）=-9a²+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，由p'（a）＜0得a＞4．
即：函數p（a）在區(qū)間（0，4]上是增函數，在區(qū)間[4，6]上是減函數，
∴當a=4時，p（a）有極大值為96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值為．
（III）證明：∵x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩根，
∴f'（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）．
∵，x₂=a，
∴．
∴
∵x₁＜x＜x₂，即．
∴
∴|g（x）|===．
∴|g（x）|成立．
點評：考查學生會用待定系數法求函數解析式，會利用導數研究函數的極值，掌握不等式的基本證明方法．