Question

（本小題滿分14分）
已知定義域?yàn)閇0, 1]的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足：
①對于任意的x[0, 1]，總有f（x）≥0;
②f（1）＝1; 
③若0≤x₁≤1, 0≤x₂≤1, x₁＋x₂≤1, 則有f（x₁＋x₂） ≥ f（x₁）＋f（x₂）．
（1）試求f（0）的值;
（2）試求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）試證明：當(dāng)x, nN_＋時(shí)，f（x）<2x．

Answer 1

（1）f（0）＝0
（2）f（x）取最大值1．
（3）略

（1）令x₁＝x₂＝0,依條件（3）可得f（0＋0）≥2f（0）,即f（0）≤0
又由條件（1）得f（0）≥0 故f（0）＝0                              …………3分
（2）任取0≤x₁<x₂≤1可知x₂－x₁（0,1],則              
f（x₂）＝f[（x₂－x₁）＋x₁]≥f（x₂－x₁）＋f（x₁）≥f（x₁）
于是當(dāng)0≤x≤1時(shí),有f（x）≤f（1）＝1因此當(dāng)x＝1時(shí),f（x）取最大值1．…………8分
（3）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)x（nN_＋）時(shí),f（x）≤
1⁰當(dāng)n＝1時(shí),x，f（x）≤f（1）＝1＝,不等式成立．
當(dāng)n＝2時(shí),x,<2x≤1,f（2x）≤1,f（2x）≥f（x）＋f（x）＝2f（x）
∴f（x）≤f（2x）≤ 不等式成立．
2⁰假設(shè)當(dāng)n＝k（kN_＋,k≥2）時(shí),不等式成立,即x時(shí)，f（x）≤
則當(dāng)n＝k＋1時(shí),x,記t＝2x，則t＝2x, ∴f（t）≤
而f（t）＝f（2x）≥2f（x），∴f（x）≤f（2x）＝f（t）≤
因此當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立．
由1⁰,2⁰知,當(dāng)x（nN_＋）時(shí),f（x）≤
又當(dāng)x（nN_＋）時(shí),2x>, 此時(shí)f（x）<2x．
綜上所述：當(dāng)x（nN_＋）時(shí),有f（x）<2x． ………… 14分