Question

如圖，已知平行六面體ABCD－的底面ABCD是菱形，且===.

（I）證明：⊥BD；

（II）假定CD=2，=，記面為，面CBD為，求二面角 的平面角的余弦值；

（III）當(dāng)的值為多少時(shí)，能使平面？請(qǐng)給出證明.

 

Answer 1

答案：
解析：

（I）證明：連結(jié)、AC，AC和BD交于O，連結(jié). ∵ 四邊形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD，BC=CD. 又∵  ， ∴ ， ∴ ， ∵ DO=OB， ∴ BD，                                                                                         但 AC⊥BD，AC∩=O， ∴ BD⊥平面. 又 平面， ∴ BD.                                                                                           （II）解：由（I）知AC⊥BD，BD， ∴ 是二面角的平面角. 在中，BC=2，，， ∴ .                                   ∵ ∠OCB=， ∴ OB=BC=1. ∴ ， ∴ 即. 作⊥OC，垂足為H. ∴ 點(diǎn)H是OC的中點(diǎn)，且OH， 所以 .                                                                 （III）當(dāng)時(shí)，能使⊥平面. 證法一： ∵ ， ∴ BC=CD=， 又 ， 由此可推得BD=. ∴三棱錐C－ 是正三棱錐                                                              設(shè)與相交于G. ∵∥AC，且∶OC=2∶1， ∴∶GO=2∶1. 又是正三角形的BD邊上的高和中線(xiàn)， ∴點(diǎn)G是正三角形的中心， ∴CG⊥平面. 即⊥平面                                                                          證法二： 由（I）知，BD⊥平面， ∵平面，∴BD⊥.                                                     當(dāng)時(shí) ，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形， 同BD⊥的證法可得⊥. 又 BD∩=B， ∴⊥平面.