Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為

3

3

，且左焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
（I）求橢圓的方程；
（II）過(guò)點(diǎn)C（-1，0）的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交直線x=-4于點(diǎn)D，點(diǎn)C分

AB

所成比為λ，點(diǎn)D分

AB

所成比為μ，求λ+μ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)左焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．可求得a和b，c的關(guān)系，根據(jù)右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離可求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而聯(lián)立方程組求得a和b，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，設(shè)A，B，D的坐標(biāo)，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，根據(jù)

AC

=λ

CB

把A，B坐標(biāo)代入求得λ=-

x1+1

x2+1

同理可求得μ=-

x1+4

x2+4

，進(jìn)而可求得λ+μ的值．

解答：解：（Ⅰ）由條件得

a2 c -c= 3 3 a=2b c= 3 2 a

解得

a=2 b=1

，
所以橢圓方程是

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）易知直線l斜率k存在，則直線l的方程為y=k（x+1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（-4，y₀）
由

y=k(x+1) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0且△=48k²+16＞0x1+x2=-

8k2

1+4k2

，x1•x2=

4k2-4

1+4k2

∵

AC

=λ

CB

，∴（-1-x₁，-y₁）=λ（x₂+1，y₂）
∴λ=-

x1+1

x2+1

∵

AD

=μ

DB

，∴（-4-x₁，-y₁）=μ（x₂+4，y₂-y₀）
∴μ=-

x1+4

x2+4

∴λ+μ=-

(x1+1)(x2+4)+(x1+4)(x2+1)

(x2+1)(x2+4)

=-

2x1x2+5(x1+x2)+8

(x2+1)(x2+4)

∵x1+x2=-

8k2

1+4k2

，x1•x2=

4k2-4

1+4k2

∴λ+μ=-

8k2-8 1+4k2 - 40k2 1+4k2 +8

(x2+1)(x2+4)

=-

8k2-8-40k2+8+32k2 1+4k2

(x2+1)(x2+4)

=0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．解題過(guò)程中充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化．