Question

已知m∈R，設(shè)命題p：不等式|m|≥

a2+8

對任意a∈[-1，1]恒成立；命題q：函數(shù)f（x）=x³+mx²+（m+

4

3

）x+6在R上有極值．則使“p或q”為真“p且q”為假的m的取值范圍為

（-3，-1）∪[3，4]

．

Answer 1

分析：先求出命題p，q為真時(shí)的等價(jià)條件，然后利用條件“p或q”為真“p且q”為假的條件，確定m的取值范圍．

解答：解：當(dāng)a∈[-1，1]時(shí)，

a2+8

∈[2

2

，3]，所以要使|m|≥

a2+8

對任意a∈[-1，1]恒成立；則|m|≥3，即m≥3或m≤-3，即p：m≥3或m≤-3．
函數(shù)f（x）=x³+mx²+（m+

4

3

）x+6的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3x2+2mx+m+

4

3

，要使函數(shù)f（x）=x³+mx²+（m+

4

3

）x+6在R上有極值，則判別式△＞0，
即4m2-4×3×(m+

4

3

)＞0，整理得m²-3m-4＞0，即m＞4或m＜-1，即q：m＞4或m＜-1．
使“P或q”為真“p且q”為假，則p，q一真一假．
若p真，q假，則

m≥3或m≤-3 -1≤m≤4

，解得3≤m≤4．
若p假，q真，則

m＞4或m＜-1 -3＜m＜4

，解得-3＜m＜-1
綜上m的取值范圍是（-3，-1）∪[3，4]．
故答案為：（-3，-1）∪[3，4]．

點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)合命題的應(yīng)用，要求熟練掌握復(fù)合命題與簡單命題真假之間的關(guān)系．