Question

設數列{a_n}滿足an+1=

an

2

+

1

an

，（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a1＞

2

，證明：數列{a_n}單調遞減；
（Ⅱ）若a₁=2，證明：

2

＜an＜

2

+

1

n

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）由a1＞

2

，可得a_n＞0，當n≥1時，利用基本不等式的性質可得an+1=

an

2

+

1

an

＞

2

，（n∈N^*）．可得對一切n∈N^*，都有an＞

2

．再證明a_n+1-a_n＜0即可．
（Ⅱ）由a1=2＞

2

，由（Ⅰ）中可知an＞

2

． 用數學歸納法證明an＜

2

+

1

n

即可．

解答： 證明：（Ⅰ）∵a1＞

2

，∴a_n＞0，
當n≥1時，an+1=

an

2

+

1

an

＞2

an 2 • 1 an

=

2

．
∴對一切n∈N^*，都有an＞

2

．
∵an+1-an=

1

an

-

an

2

=

2- a 2 n

2an

＜0，
∴數列{a_n}單調遞減．
（Ⅱ）∵a1=2＞

2

，由（Ⅰ）中可知an＞

2

．  
下面用數學歸納法證明an＜

2

+

1

n

①當n=1時，a1=2＜

2

+

1

n

顯然成立．
②假設n=k（k≥1）時，命題成立，即ak＜

2

+

1

k

成立．
那么當n=k+1時，
有ak+1=

ak

2

+

1

ak

＜

2 + 1 k

2

+

1

2

=

2

+

1

2k

≤

2

+

1

k+1

∴當n=k+1時，上述命題也成立
綜合①②可得對于任意n∈N^*，有an＜

2

+

1

n

．
因此，

2

＜an＜

2

+

1

n

．

點評：本題考查了數列的單調性、基本不等式的性質、數學歸納法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．