Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （a＞0）．
（1）證明函數(shù)f（x）在（0，2]上是減函數(shù)，（2，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若方程f（x）=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，判斷函數(shù)g（x）=f（x）﹣4的奇偶性；
（3）在（2）的條件下探求方程f（x）=m（m≥8）的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意：f（x）=x+ +a，

∴f′（x）= ，

∴0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，x＞2時(shí)，f′（x）＞0，

∴函數(shù)f（x）在（0，2]上是減函數(shù)，（2，+∞）上是增函數(shù)

（2）解：由題意知方程x2+ax+4=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

∴△=a2﹣16=0，

又a＞0，∴a=4．

此時(shí)f（x）=x+ +4，g（x）=x+ ，

又g（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

且g（﹣x）=﹣x﹣ =﹣g（x），

∴g（x）是奇函數(shù)

（3）解：由（2）知f（x）=m可化為x+ =m﹣4（m≥8）

又由（1）（2）知：

當(dāng)m﹣4=4 即m=8時(shí)f（x）=m只有一解

當(dāng)m﹣4＞4即m＞8時(shí)f（x）=m有兩解

綜上，當(dāng)m=8時(shí)f（x）=m只有一解；當(dāng)m＞8時(shí)f（x）=m有兩解

【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可證明；（2）求出g（x）=x+ ，又g（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷；（3）由（2）知f（x）=m可化為x+ =m﹣4（m≥8），再分類(lèi)討論，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識(shí)，掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．