Question

已知數(shù)列{ a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足2S_n+3=3a_n（n∈N^*），{b_n}是等差數(shù)列，且b₂=a₂，b₄=a₁+4．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（I）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和2S_n+3=3a_n（n∈N^*），∴n≥2時(shí)，2S_n-1+3=3a_n-1（n∈N^*），
∴兩式相減可得2a_n=3a_n-3a_n-1，∴a_n=3a_n-1（n≥2）
∵n=1時(shí)，∴a₁=3，a₂=9
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列
∴a_n=3ⁿ；
∵{b_n}是等差數(shù)列，且b₂=a₂，b₄=a₁+4，b₂=9，b₄=7，公差為-1，的等差數(shù)列
∴b₁=10，
∴b_n=10-（n-1）=11-n．
（II）c_n=a_nb_n=（11-n）•3ⁿ
∴T_n=10•3+9•3²+…+（11-n）•3ⁿ
∴3T_n=10•3²+9•3³+…+（12-n）•3ⁿ+（11-n）•3ⁿ⁺¹
兩式相減可得-2T_n=30-3²-3³-…-3ⁿ-（11-n）•3ⁿ⁺¹=30--（11-n）•3ⁿ⁺¹
∴T_n=（）•3ⁿ⁺¹-
分析：（I）利用數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和2S_n+3=3a_n再寫一式，兩式相減可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；求出等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)，公差，從而可得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法，可得數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯(cuò)位相減法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．