Question

已知A（-2，0），B（2，0），點(diǎn)P在圓（x-3）²+（y-4）²=1上運(yùn)動(dòng)，則PA²+PB²的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線與圓

分析：由點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），設(shè)P（a，b），則|PA|²+|PB|²=2a²+2b²+8，由點(diǎn)P在圓（x-3）²+（y-4）²=1上運(yùn)動(dòng)，通過(guò)三角代換，化簡(jiǎn)|PA|²+|PB|²為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，然后求出最小值．

解答： 解：∵點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），
設(shè)P（a，b），則|PA|²+|PB|²=2a²+2b²+8，
由點(diǎn)P在圓（x-3）²+（y-4）²=1上運(yùn)動(dòng)，
（a-3）²+（b-4）²=1，
令a=3+cosα，b=4+sinα，
所以|PA|²+|PB|²=2a²+2b²+8
=2（3+cosα）²+2（4+sinα）²+8
=60+12cosα+16sinα
=60+20sin（α+φ），（tanφ=

3

4

）．
所以|PA|²+|PB|²≥40．當(dāng)且僅當(dāng)sin（α+φ）=-1時(shí)，取得最小值．
∴|PA|²+|PB|²的最小值為40．
故答案為：40．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的一般式方程與兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，具體涉及到直線方程和圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．