Question

15．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、E₁分別是BC和B₁C₁中點(diǎn)，則：
（1）點(diǎn)B到A₁E₁的距離為$\frac{\sqrt{30}}{5}$；
（2）點(diǎn)B₁到平面A₁BE₁的距離為$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（3）直線AE到平面A₁BE₁的距離為$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（4）平面AEC₁與平面A₁BE₁的距離為$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（5）A₁在正方體表面上到點(diǎn)E的最短距離為$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理，等體積轉(zhuǎn)化，平面圖形的展開(kāi)圖，即可求出距離．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)B₁到A₁E₁的距離為h，則h=$\frac{1•\frac{1}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴點(diǎn)B到A₁E₁的距離為$\sqrt{1+\frac{1}{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$；
（2）點(diǎn)B₁到平面A₁BE₁的距離為h′，則$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}•\frac{\sqrt{30}}{5}h′=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•\frac{1}{2}•1$，
∴h′=$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（3）直線AE到平面A₁BE₁的距離等于A到平面A₁BE₁的距離h″，則$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}•\frac{\sqrt{30}}{5}h″$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•\frac{1}{2}•1$，
∴h″=$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（4）平面AEC₁與平面A₁BE₁的距離等于直線AE到平面A₁BE₁的距離，為$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（5）A₁在正方體表面上到點(diǎn)E的最短距離為$\sqrt{1+（1+\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{30}}{5}$；$\frac{\sqrt{6}}{6}$；$\frac{\sqrt{6}}{6}$；$\frac{\sqrt{6}}{6}$；$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．