Question

10名運(yùn)動(dòng)員，男6名，女4名，其中男女隊(duì)長各一名，選5名同學(xué)參加比賽，共有多少種下述條件的選派方法（結(jié)果用數(shù)字作答）．
（1）男3名，女2名；                 
（2）隊(duì)長至少有1人參加；
（3）至少1名女運(yùn)動(dòng)員；              
（4）既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先選3名男運(yùn)動(dòng)員，有C₆³種選法．再選2名女運(yùn)動(dòng)員，有C₄²種選法．利用分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
（2）只有男隊(duì)長的選法為C₈⁴種，只有女隊(duì)長的選法為C₈⁴種，男、女隊(duì)長都入選的選法為C₈³種，分類計(jì)數(shù)可得．
（3）從事件的對立面來考慮，拿任意的選法減掉全是男運(yùn)動(dòng)員的方法種數(shù)即可．
（4）當(dāng)有女隊(duì)長時(shí)，其他人選法任意，共有C₉⁴種選法．不選女隊(duì)長時(shí)，必選男隊(duì)長，共有C₈⁴種選法．其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C₅⁴種，得到結(jié)果．
解答：解：（1）由分步計(jì)數(shù)問題，首先選3名男運(yùn)動(dòng)員，有C₆³種選法，
再選2名女運(yùn)動(dòng)員，有C₄²種選法，故共有C₆³•C₄²=120種選法；
（2）“只有男隊(duì)長”的選法為C₈⁴種；“只有女隊(duì)長”的選法為C₈⁴種；
“男、女隊(duì)長都入選”的選法為C₈³種；∴共有2C₈⁴+C₈³=196種．
∴“至少1名隊(duì)長”的選法有C₁₀⁵-C₈⁵=196種選法．
（3）“至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的對立事件為“全是男運(yùn)動(dòng)員”．
從10人中任選5人，有C₁₀⁵種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C₆⁵種．
所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有C₁₀⁵-C₆⁵=246種；
∴“至少1名隊(duì)長”的選法有C₁₀⁵-C₈⁵=196種選法．
（4）當(dāng)有女隊(duì)長時(shí)，其他人選法任意，共有C₉⁴種選法．
不選女隊(duì)長時(shí)，必選男隊(duì)長，共有C₈⁴種選法．
其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C₅⁴種，
∴不選女隊(duì)長時(shí)共有C₈⁴-C₅⁴種選法．
既有隊(duì)長又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有C₉⁴+C₈⁴-C₅⁴=191種．
點(diǎn)評：本題考查分類、分步計(jì)數(shù)原理，題目中同時(shí)出現(xiàn)分類和分步是一個(gè)比較綜合的題目，屬中檔題．