Question

10名運動員，男6名，女4名，其中男女隊長各一名，選5名同學(xué)參加比賽，共有多少種下述條件的選派方法（結(jié)果用數(shù)字作答）．
（1）男3名，女2名；                 
（2）隊長至少有1人參加；
（3）至少1名女運動員；              
（4）既要有隊長，又要有女運動員．

Answer 1

分析：（1）首先選3名男運動員，有C₆³種選法．再選2名女運動員，有C₄²種選法．利用分步計數(shù)原理得到結(jié)果．
（2）只有男隊長的選法為C₈⁴種，只有女隊長的選法為C₈⁴種，男、女隊長都入選的選法為C₈³種，分類計數(shù)可得．
（3）從事件的對立面來考慮，拿任意的選法減掉全是男運動員的方法種數(shù)即可．
（4）當有女隊長時，其他人選法任意，共有C₉⁴種選法．不選女隊長時，必選男隊長，共有C₈⁴種選法．其中不含女運動員的選法有C₅⁴種，得到結(jié)果．

解答：解：（1）由分步計數(shù)問題，首先選3名男運動員，有C₆³種選法，
再選2名女運動員，有C₄²種選法，故共有C₆³•C₄²=120種選法；
（2）“只有男隊長”的選法為C₈⁴種；“只有女隊長”的選法為C₈⁴種；
“男、女隊長都入選”的選法為C₈³種；∴共有2C₈⁴+C₈³=196種．
∴“至少1名隊長”的選法有C₁₀⁵-C₈⁵=196種選法．
（3）“至少1名女運動員”的對立事件為“全是男運動員”．
從10人中任選5人，有C₁₀⁵種選法，其中全是男運動員的選法有C₆⁵種．
所以“至少有1名女運動員”的選法有C₁₀⁵-C₆⁵=246種；
∴“至少1名隊長”的選法有C₁₀⁵-C₈⁵=196種選法．
（4）當有女隊長時，其他人選法任意，共有C₉⁴種選法．
不選女隊長時，必選男隊長，共有C₈⁴種選法．
其中不含女運動員的選法有C₅⁴種，
∴不選女隊長時共有C₈⁴-C₅⁴種選法．
既有隊長又有女運動員的選法共有C₉⁴+C₈⁴-C₅⁴=191種．

點評：本題考查分類、分步計數(shù)原理，題目中同時出現(xiàn)分類和分步是一個比較綜合的題目，屬中檔題．