Question

6．根據(jù)下列條件求圓的方程：
（1）求經(jīng)過點A（5，2），B（3，2），圓心在直線2x-y-3=0 上的圓的方程；
（2）求以O（0，0），A（2，0），B（0，4）為頂點的三角形OAB外接圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由A和B的坐標求出直線AB的斜率，根據(jù)兩直線垂直斜率的乘積為-1求出直線AB垂直平分線的斜率，根據(jù)垂徑定理得到圓心在弦AB的垂直平分線上，又圓心在已知直線上，聯(lián)立兩直線方程組成方程組，求出方程組的解集，得到圓心M的坐標，再利用兩點間的距離公式求出|AM|的長，即為圓的半徑，由圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程即可；
（2）設以O（0，0），A（2，0），B（0，4）為頂點的三角形OAB外接圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，分別把點O，A，B代入，能求出三角形OAB外接圓的方程．

解答 解：∵A（5，2），B（3，2），
∴直線AB的斜率為$\frac{2-2}{5-3}$=0，
∴直線AB垂直平分線與x軸垂直，其方程為：x=4，
與直線2x-y-3=0聯(lián)立解得：x=4，y=5，即所求圓的圓心M坐標為（4，5），
又所求圓的半徑r=|AM|=$\sqrt{（5-4）^{2}+（2-5）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
則所求圓的方程為（x-4）²+（y-5）²=10 （6分）
（2）設以O（0，0），A（2，0），B（0，4）為頂點的三角形OAB
外接圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{4+2D+F=0}\\{16+4E+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=-2，E=-4，F(xiàn)=0，
∴三角形OAB外接圓的方程為x²+y²-2x-4y=0．（12分）

點評 此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：直線斜率的求法，兩直線垂直時斜率滿足的關系，兩點間的距離公式，以及兩直線的交點坐標求法，其中根據(jù)垂徑定理得出弦AB的垂直平分線過圓心是解本題的關鍵．