Question

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）＜0]}，B={x|

x-a

x-(a2+1)

＜0}．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求集合A∪B；
（Ⅱ）若B⊆A成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,并集及其運(yùn)算

專題：集合

分析：（I）當(dāng)a=2時(shí)，對(duì)于集合A：（x-2）（x-7）＜0，對(duì)于集合B：

x-2

x-5

＜0，化為（x-2）（x-5）＜0，利用一元二次不等式的解法解出即可得到A，B，再利用集合的運(yùn)算即可得出A∪B．
（II）對(duì)于集合B：由于a²+1＞a，因此

x-a

x-(a2+1)

＜0化為（x-a）[x-（a²+1）]＜0，解得B=（a，a²+1）．對(duì)于集合A：對(duì)a分類討論，當(dāng)a=

1

3

時(shí)，化為（x-2）²＜0，此時(shí)A=∅；當(dāng)a＞

1

3

時(shí)，集合A化為2＜x＜3a+1；當(dāng)a＜

1

3

時(shí)，集合A化為3a+1＜x＜2，再利用B⊆A成立，即可解出．

解答： 解：（I）當(dāng)a=2時(shí)，對(duì)于集合A：（x-2）（x-7）＜0，解得2＜x＜7．∴A=（2，7）．
對(duì)于集合B：

x-2

x-5

＜0，化為（x-2）（x-5）＜0，解得2＜x＜5．∴B=（2，5）．
∴集合A∪B=（2，7）；
（II）對(duì)于集合B：∵a²+1-a=(a-

1

2

)2+

3

4

＞0，∴a²+1＞a，因此

x-a

x-(a2+1)

＜0化為（x-a）[x-（a²+1）]＜0，解得a＜x＜a²+1，
∴B=（a，a²+1）．
對(duì)于集合A：當(dāng)a=

1

3

時(shí)，化為（x-2）²＜0，此時(shí)A=∅，B⊆A不成立，舍去；
當(dāng)a＞

1

3

時(shí)，3a+1＞2，集合A化為2＜x＜3a+1，∵B⊆A成立，∴

a≥2 a2+1≤3a+1 a＞ 1 3

，解得2≤a≤3，因此2≤a≤3．
當(dāng)a＜

1

3

時(shí)，3a+1＜2，集合A化為3a+1＜x＜2，∵B⊆A成立，∴

a＜ 1 3 3a+1≤a a2+1≤2

，解得-1≤a≤-

1

2

，因此-1≤a≤-

1

2

．
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1≤a≤-

1

2

或2≤a≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法、分式不等式的解法、集合之間的關(guān)系，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．