Question

過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段|AB|=8，則p=

 

；過(guò)拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F作傾角為30°的直線，與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)（A在y軸左側(cè)），則

|AF|

|FB|

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂．再利用弦長(zhǎng)公式|AB|=x₁+x₂+p，即可得到p；

解答： 解：拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F（

p

2

，0），準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

∴直線AB的方程為y=x-

p

2

，
代入y²=2px可得x²-3px+

p2

4

=0
∴x_A+x_B=3p，
由拋物線的定義可知，AB=AF+BF=x_A+x_B+p=4p=8
∴p=2；
設(shè)直線l的方程為：x=

3

（y-

p

2

），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程代入拋物線方程，消去x可得12y²-20py+3p²=0，
解方程得y₁=

p

6

，y₂=

3p

2

由拋物線的性質(zhì)知，

|AF|

|FB|

=

y1+ p 2

y2+ p 2

=

1

3

．
故答案為：2，

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查直線與拋物線相交問(wèn)題、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題、弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題．