Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點．

（1）證明：MN∥平面PAB；
（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：法一、如圖，取PB中點G，連接AG，NG，

∵N為PC的中點，

∴NG∥BC，且NG= BC，

又AM= ，BC=4，且AD∥BC，

∴AM∥BC，且AM= BC，

則NG∥AM，且NG=AM，

∴四邊形AMNG為平行四邊形，則NM∥AG，

∵AG平面PAB，NM平面PAB，

∴MN∥平面PAB；

法二、

在△PAC中，過N作NE⊥AC，垂足為E，連接ME，

在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB= ，

∵AD∥BC，

∴cos ，則sin∠EAM= ，

在△EAM中，

∵AM= ，AE= ，

由余弦定理得：EM= = ，

∴cos∠AEM= ，

而在△ABC中，cos∠BAC= ，

∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，

∴AB∥EM，則EM∥平面PAB．

由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，

∴NE∥PA，則NE∥平面PAB．

∵NE∩EM=E，

∴平面NEM∥平面PAB，則MN∥平面PAB

（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC= ，得CM2=AC2+AM2﹣2ACAMcos∠MAC= ．

∴AM2+MC2=AC2，則AM⊥MC，

∵PA⊥底面ABCD，PA平面PAD，

∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，

∴CM⊥平面PAD，則平面PNM⊥平面PAD．

在平面PAD內(nèi)，過A作AF⊥PM，交PM于F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角．

在Rt△PAC中，由N是PC的中點，得AN= = ，

在Rt△PAM中，由PAAM=PMAF，得AF= ，

∴sin ．

∴直線AN與平面PMN所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）法一、取PB中點G，連接AG，NG，由三角形的中位線定理可得NG∥BC，且NG= BC，再由已知得AM∥BC，且AM= BC，得到NG∥AM，且NG=AM，說明四邊形AMNG為平行四邊形，可得NM∥AG，由線面平行的判定得到MN∥平面PAB；
法二、證明MN∥平面PAB，轉(zhuǎn)化為證明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，過N作NE⊥AC，垂足為E，連接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通過求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，則結(jié)論得證；（2）連接CM，證得CM⊥AD，進(jìn)一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD內(nèi)，過A作AF⊥PM，交PM于F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直線AN與平面PMN所成角的正弦值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．