Question

9．如圖，在△ABC中，C=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，過C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓交于點E，若DE的長為2，則AC=10．

Answer 1

分析 設(shè)AB=2r，利用直角△ABC的邊角關(guān)系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的邊角關(guān)系即可得出CD，BD．再利用切割線定理可得CD²=DE•DB，即可求出AC．

解答 解：設(shè)AB=2r，則
在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2r，
∴BC=AB•sin60°=$\sqrt{3}$r．
∵CD是此圓的切線，∴∠BCD=∠A=60°．
在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，BD=BC•sin60°=$\frac{3}{2}$r．
由切割線定理可得CD²=DE•DB，
∴（$\frac{\sqrt{3}}{2}$r）²=5•$\frac{3}{2}$r，解得r=10．
∴AB=20，AC=10
故答案為：10．

點評 熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系、弦切角定理、切割線定理是解題的關(guān)鍵．