Question

已知拋物線與雙曲線有公共焦點．點是曲線C1，C2在第一象限的交點，且．

（1）求雙曲線交點及另一交點的坐標和點的坐標；

（2）求雙曲線的方程；

（3）以為圓心的圓M與直線相切，圓N：，過點P（1，）作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線和，設被圓M截得的弦長為s，被圓N截得的弦長為t，問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

 

Answer 1

（1）、，點A的坐標為或；（2）；（3）為定值.說明如下：設圓M的方程為：，因為圓M與直線相切，所以圓M的半徑為.故圓M: .顯然，當直線的斜率不存在時不符合題意，

所以直線的斜率存在，設的方程為，即.

設的方程為，即.

所以點到直線的距離為，點到直線的距離為，所以直線被圓M截得的弦長，直線被圓M截得的弦長，所以.

【解析】

試題分析：（1）由拋物線的焦點能求出雙曲線交點及另一交點的坐標，由拋物線定義能求出點A的坐標；（2）由已知條件推導出，由此能求出雙曲線的方程；（3）設圓M的方程為：，設直線的方程為，設的方程為，由此利用點到直線距離公式結合已知條件能求出是定值.

試題解析：（1）因為的焦點為，所以雙曲線的焦點為、.設，由點在拋物線上，且，由拋物線的定義得，，即，所以，即，所以點A的坐標為或.

（2）由題意知，又因為點在雙曲線上，由雙曲線定義得：

，即，所以，故雙曲線的方程為：.

（3）為定值.說明如下：

設圓M的方程為：，因為圓M與直線相切，所以圓M的半徑為.故圓M: .顯然，當直線的斜率不存在時不符合題意，

所以直線的斜率存在，設的方程為，即.

設的方程為，即.

所以點到直線的距離為，點到直線的距離為，所以直線被圓M截得的弦長，直線被圓M截得的弦長，所以.

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．