Question

16、在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3，BC=2，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是C₁C上一點(diǎn)，且CF=2，E是AA₁上一點(diǎn)，且AE=2．
（1）求證：B₁F⊥平面ADF；
（2）求證：BE∥平面ADF．

Answer 1

【答案】分析：（1）觀察發(fā)現(xiàn)，可以證明B₁F與兩線AD，DF垂直，利用線面垂直的判定定理得出B₁F⊥平面ADF；
（2）由圖形及題設(shè)條件，若連接EC，其與AF交于一點(diǎn)，不妨令該點(diǎn)為M，連接DM，可證得DM與BE兩者平行，由此可以得出線面平行．
解答：證明：（1）由題意知AD⊥側(cè)面BCC₁B₁，由于B₁F?側(cè)面BCC₁B₁，故可得AD⊥B₁F
又由題設(shè)條件，由勾股定理可解得DF=，B₁F=，B₁D=
∴DF²+B₁F²=B₁D²²=10
故有DF⊥B₁F
從而得B₁F⊥平面ADF；
（2）連接CE交AF于O，由題設(shè)條件知，O是兩線段的中點(diǎn)，連接OD，則OD是三角形BCE的中位線，所以O(shè)D∥BE，
又OD在面ADF內(nèi)，BE不在面ADF內(nèi)
所以BE∥平面ADF
點(diǎn)評：本題考查了用線面垂直的判定定理證明線面垂直與線面平行的判定定理證線面平行，是立體幾何中的典型題，也是基本題型．