Question

用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)，由這些五位數(shù)構(gòu)成集合M，我們把千位數(shù)字比萬位數(shù)字和百位數(shù)字都小，且十位數(shù)字比百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字都小的五位數(shù)稱為“五位凹數(shù)”例如：21435就是一個(gè)五位凹數(shù)．
（1）求從集合M中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)恰是“五位凹數(shù)”的概率．
（2）設(shè)集合M中的“五位凹數(shù)”的十位數(shù)字為X，求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）求出組成數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)共有5!=120個(gè)，再對(duì)“五位凹數(shù)”，可考慮千位分別為3，2，1，再考慮十位，運(yùn)用列舉法，即可得到共有16個(gè)，即可得到所求的概率；
（2）由（1）可知，X=1，2，3．通過（1）即可得到P（X=1）=

1

2

，P（X=2）=

3

8

，P（X=3）=

1

8

，再由數(shù)學(xué)期望公式，即可得到．

解答： 解：（1）用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)，
共有5!=120個(gè)，
對(duì)于“五位凹數(shù)”，可考慮千位：若千位為3，百、萬位排4，5，則十位為1，則有2個(gè)；
若千位為2，百、萬位排3，4 或3，5或4，5，則十位即為1，則有2+2+2=6個(gè)；
若千位為1，百、萬位不排2，3，排2，4，則十位排3，有1個(gè)；
百、萬位排2，5，則十位排3，有1個(gè)；
百、萬位排3，4，或3，5或4，5，則十位排2，則有2+2+2=6個(gè)；
故共有這樣的“五位凹數(shù)”2+6+1+1+6=16個(gè)．
則有從集合M中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)恰是“五位凹數(shù)”的概率為：

16

120

=

2

15

；
（2）由（1）可知，X=1，2，3．
且有P（X=1）=

2+6

16

=

1

2

，
P（X=2）=

6

16

=

3

8

，
P（X=3）=

2

16

=

1

8

，
則X的數(shù)學(xué)期望是E（X）=1×

1

2

+2×

3

8

+3×

1

8

=

13

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合及概率的應(yīng)用題，考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和運(yùn)用，考查古典概率和離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，注意列舉法的完整性，屬于中檔題和易錯(cuò)題．