Question

如圖，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，過(guò)左焦點(diǎn)F（-

3

，0）且斜率為k的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，直線l：x+4ky=0交橢圓E于C，D兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點(diǎn)M在直線l上；
（3）若△BDM的面積是△ACM面積的3倍，求斜率k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由焦點(diǎn)可得c，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，求出a，b，即可得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得證；
（3）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去x，解得C的縱坐標(biāo)，再由面積關(guān)系，得到方程，解出即可．

解答： （1）解：左焦點(diǎn)F（-

3

，0），則c=

3

，
離心率為

3

2

，則

c

a

=

3

2

，即有a=2，b=1，
則橢圓方程

x2

4

+y²=1；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
設(shè)直線AB：y=k（x+

3

），

y=k(x+ 3 ) x2+4y2=4

消去y，得（1+4k²）x²+8

3

k²x+12k²-4=0，
所以x₁+x₂=-

8 3 k2

1+4k2

，x₀=

x1+x2

2

=-

4 3 k2

1+4k2

，
y₀=k（x₀+

3

）=

3 k

1+4k2

，
因?yàn)?span id="ehr52s7" class="MathJye">

-4 3 k2

1+4k2

+4k•

3 k

1+4k2

=0，所以點(diǎn)M在直線l上；
（3）解：由（2）知點(diǎn)A到直線CD的距離與點(diǎn)B到直線CD的距離相等，
因△BDM的面積是△ACM面積的3倍，所以DM=3CM，又|OD|=|OC|，
于是M是OC的中點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₃，y₃） 則y₀=

y3

2

，
因?yàn)?span id="y1e3z6t" class="MathJye">

x=-4ky x2+4y2=4

，解得y₃=

1

1+4k2

，
于是

1

2 1+4k2

=

3 k

1+4k2

，解得k²=

1

8

，
所以k=±

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．