Question

在平面直角坐標系xoy中，設點F（1，0），直線l：x=-1，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（1）求動點Q的軌跡的方程；
（2）記Q的軌跡的方程為E，過點F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設AB、CD的中點分別為M，N．求證：直線MN必過定點R（3，0）．

Answer 1

分析：（1）由已知條件知，點R是線段FP的中點，RQ是線段FP的垂直平分線，點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，寫出拋物線標準方程．
（2）設出直線AB的方程，把A、B坐標代入拋物線方程，再利用中點公式求出點M的坐標，同理可得N的坐標，求出直線MN的斜率，得到直線MN的方程并化簡，可看出直線MN過定點．

解答：解：（Ⅰ）依題意知，直線l的方程為：x=-1，設直線l與x軸交于點K（-1，0），由OK平行于直線l可得，
OR是△FPK的中位線，故點R是線段FP的中點．
又RQ⊥FP，∴RQ是線段FP的垂直平分線．∴|PQ|是點Q到直線l的距離．
∵點Q在線段FP的垂直平分線，∴|PQ|=|QF|．
故動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程為：y²=4x（x＞0）．
（Ⅱ）設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），直線AB的方程為y=k（x-1）
則

yA2=4xA(1) yB2=4xB(2)

（1）-（2）得yA+yB=

4

k

，即yM=

2

k

，
代入方程y=k（x-1），解得xM=

2

k2

+1．  所以點M的坐標為(

2

k2

+1 ， 

2

k

)．
同理可得：N的坐標為（2k²+1，-2k）．    直線MN的斜率為kMN=

yM-yN

xM-xN

=

k

1-k2

，
方程為；y+2k=

k

1-k2

(x-2k2-1)，整理得y（1-k²）=k（x-3），
顯然，不論k為何值，（3，0）均滿足方程，所以直線MN恒過定點R（3，0）．

點評：本題考查軌跡方程的求法、拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，直線過定點問題，屬于難題．