Question

已知橢圓C：的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，以AB弦為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，試探討點(diǎn)O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，建立方程組，即可求橢圓C的方程；
（2）分類討論，再設(shè)直線方程代入題意方程，利用韋達(dá)定理，及以AB弦為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意∴b=1，…．（2分）
∴所求橢圓方程為．…..（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，設(shè)AB方程為：x=m，此時(shí)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，又以|AB|為直徑的圓過原點(diǎn)，
設(shè)A（m，m）代人橢圓方程得：…．（6分）
②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．聯(lián)立，
整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，∴，．…．（8分）
又==．
由以|AB|為直徑的圓過原點(diǎn)，則有．…..（10分）
即：x₁x₂+y₁y₂=0，故滿足：得：4m²=3+3k²，所以m²=．
又點(diǎn)O到直線AB的距離為：．
綜上所述：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．…（13分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．