Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+t（t＞0）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．若原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，可知m＞1，且，由此可m²=2，從而可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，等價(jià)于x₁x₂+y₁y₂＜0，將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可建立不等式，從而可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）依題意，可知m＞1，且，所以，所以m²=2，即橢圓C的方程為．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，等價(jià)于（A，O，B三點(diǎn)不共線），也就等價(jià)于，即x₁x₂+y₁y₂＜0…①…（7分）
聯(lián)立，得3x²+4tx+2（t²-1）=0，所以△=16t²-24（t²-1）＞0，即0＜t²＜3…②
且…（10分）
于是
代入①式得，，即適合②式…（12分）
又t＞0，所以解得即求．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，運(yùn)用韋達(dá)定理解題．