Question

5．給出命題p：a（1-a）＞0；命題q：y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點．如果命題“p∨q”為真，“p∧q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p，q為真命題時對應的等價條件，然后利用p∧q為假命題，p∨q為真命題，確定a的取值范圍．

解答 解：命題p為真?a（1-a）＞0?0＜a＜1-------------------------------（2分）
命題q為真$?△={（2a-3）^2}-4＞0?a＜\frac{1}{2}或a＞\frac{5}{2}$，-----------------（4分）
命題“p∨q”為真，“p∧q”為假?p，q中一真一假，-----------------（6分）
當p真q假時，$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{2}}\end{array}}\right.$，得$\frac{1}{2}≤a＜1$，---------------------------（8分）
當p假q真時，$\left\{{\begin{array}{l}{a≤0或a≥1}\\{a＜\frac{1}{2}或a＞\frac{5}{2}}\end{array}}\right.$，得$a≤0或a＞\frac{5}{2}$，--------------------（10分）
所以a的取值范圍是$（-∞，0]∪[\frac{1}{2}，1）∪（\frac{5}{2}，+∞）$-----------------------------------------（12分）

點評 本題考查了復合命題的真假判斷以及應用，要求熟練掌握復合命題與簡單命題的真假關系，屬于基礎題．