Question

已知函數(shù)f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值為0，其中a＞0.
(1)求a的值；
(2)若對任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx²成立，求實數(shù)k的最小值；

Answer 1

（1）a="1" （2）

解析試題分析：（1）首先確定函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極小值，此處，極小值就是最小值，由于最小值為0，可建立關(guān)于a的方程，解之即可.（2）通過x=1驗證k≤0不滿足條件，所以k>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－kx²，則g′(x)＝－2kx＝.分類討論：k≥時，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，總有g(shù)(x)≤g(0)＝0，故k≥符合題意; 0＜k＜時，g(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，x₀∈時，g(x₀)＞g(0)＝0，故0＜k＜不合題意．所以k的最小值為.
試題解析：.解：(1)f(x)的定義域為(－a，＋∞)．
f′(x)＝1－＝.2分
由f′(x)＝0，得x＝1－a＞－a.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－a,1－a)	1－a	(1－a，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	極小值	?

因此，f(x)在x＝1－a處取得最小值，
故由題意f(1－a)＝1－a＝0，所以a＝1.  5分
(2)當k≤0時，取x＝1，有f(1)＝1－ln2＞0，
故k≤0不合題意．                    6分
當k＞0時，令g(x)＝f(x)－kx²，
即g(x)＝x－ln(x＋1)－kx².
g′(x)＝－2kx＝.
令g′(x)＝0，得x₁＝0，x₂＝＞－1.  8分
①當k≥時，≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，從而對任意的x∈[0，＋∞)，總有g(shù)(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx²在[0，＋∞)上恒成立，故k≥符合題意． 10分
②當0＜k＜時，＞0, 對于x∈，g′(x)＞0，故g(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，因此當取x₀∈時，g(x₀)＞g(0)＝0，即f(x₀)≤kx₀²不成立，故0＜k＜不合題意．
綜上，k的最小值為.    12分
考點：1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2.導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)；3.不等式恒成立問題.