【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）當時，求證：存在實數(shù)使.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)題意可得處的切線的斜率為2，從而求得a（2）對于存在問題可根據(jù)題意賦值驗證，當時，顯然有，即存在實數(shù)使；當時分析函數(shù)單調性，得函數(shù)最小值，若最小值小于1即得證

試題解析：

（Ⅰ），

因為曲線在處的切線與直線垂直，

所以切線的斜率為2，

所以，

所以.

（Ⅱ）法1：當時，顯然有，即存在實數(shù)使；

當時，由可得，

所以在時， ，所以函數(shù)在上遞減；

時， ，所以函數(shù)在上遞增

所以 是的極小值.

由函數(shù)可得，

由可得，

所以，

綜上，若，存在實數(shù)使.

（Ⅱ）法2：當時，顯然有，即存在實數(shù)使；

當時，由可得，

所以在時， ，所以函數(shù)在上遞減；

時， ，所以函數(shù)在上遞增.

所以 是的極小值.

設，則,令，得

+

0

-

↗

極大值

↘

所以當時，

所以，

綜上，若，存在實數(shù)使.

練習冊系列答案
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方案

一

100

100

100

500

二

100

100

500

500

三

200

200

400

400

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方案二

方案三

合計

男性

12

女性

40

合計

82

100

附：

0.15

0.10

0.05

2.072

2.706

3.841

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