Question

如圖，在四棱錐P‐ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．

求證：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．

Answer 1

（1）詳證見(jiàn)解析；（2）詳證見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）欲證PB∥平面AEC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只需證PB與平面AEC內(nèi)一直線平行，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，根據(jù)三角形的中位線定理可知EO∥PB，而EO平面AEC，滿足定理?xiàng)l件；

（2）欲證平面PCD⊥平面PAD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面PCD內(nèi)一直線與平面PAD垂直，而PA⊥CD，CD⊥AD，,根據(jù)線面垂直的判定定理可知CD⊥平面PAD，得到結(jié)論.

試題解析：

（1）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)．

∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，即為△PBD的中位線，

∴， 4分

∵平面，平面，

∴平面． 7分

（2）證明：∵平面，平面，所以． 9分

∵在正方形中且，

∴平面． 12分

又∵平面，所以平面平面． 14分

考點(diǎn)：（1）直線與平面平行的判定；（2）平面與平面垂直的判定.