已知函數(shù)f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)(a>0且a≠1)
(1)若不等式|f(x)|<2的解集為{x|-
1
2
<x<
1
2
}
,求a的值;
(2)(文)設(shè)f(x)的反函數(shù)為f-1(x),若關(guān)于x的不等式f-1(x)<m(m∈R)有解,求m的取值范圍.
(3)(理)設(shè)f(x)的反函數(shù)為f-1(x),若f-1(1)=
1
3
,解關(guān)于x的不等式f-1(x)<m(m∈R).
(1)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,得
f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)=log a
1+x
1-x
(-1<x<1)
令t=
1+x
1-x
,得t/=
1-x+1+x
(1-x) 2
=
2
(1-x) 2
>0

故t在區(qū)間(-1,1)上是關(guān)于x的單調(diào)增函數(shù),
不等式|f(x)|<2的解集為(-
1
2
1
2
)
,分兩種情況加以討論:
①當(dāng)a>1時(shí),f(-
1
2
) =-2且f(
1
2
) =2

∴l(xiāng)oga
1
2
-loga
3
2
=-2?loga
1
3
=-2
?a=
3

②當(dāng)0<a<1時(shí),f(-
1
2
) =2且f(
1
2
) =-2
,類似①的方法可得a=
3
3

綜上所述,得實(shí)數(shù)a的值為
3
3
3
;
(2)∵f(x)=log a
1+x
1-x
?x=
-1+ay
1+ay

∴f-1(x)=
-1+ax
1+ax
=1-
2
1+ax

∵1+ax>1
1-
2
1+ax
∈(-1,1)

欲使關(guān)于x的不等式f-1(x)<m(m∈R)有解,m必須大于f-1(x)的最小值,所以m≥-1
故m的取值范圍是[-1,+∞).
(3)由(2)得f-1(1)=
-1+a
1+a
=
1
3
?a=2,
對(duì)于關(guān)于x的不等式f-1(x)<m,由(2)知的f-1(x)的值域?yàn)椋?1,1)
故分3種情形加以討論:
①當(dāng)m≥1時(shí),有f-1(x)<1≤m,所以f-1(x)<m恒成立,得不等式的解集是R;
②當(dāng)-1<m<1,f-1(x)<m?1-
2
1+2x
<m?2x
1+m
1-m
?x<log2
1+m
1-m

∴不等式的解集是x∈(-∞,log2
1+m
1-m

由(2)知不等式f-1(x)<m的解集是空集.
綜上所述:當(dāng)m≤-1時(shí)原不等式的解集是空集,當(dāng)-1<m<1時(shí)原不等式的解集是x∈(-∞,log2
1+m
1-m
);當(dāng)m≥1時(shí),原不等式的解集是R.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對(duì)任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若直線l過點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對(duì)稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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