Question

12．若函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{2}{（{x-2}）^2}+alnx$在（1，+∞）上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． .[-1，+∞）
• B． （-∞，-1]
• C． （1，+∞）
• D． .（-∞，1]

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號，得到a的不等式，然后求解實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{2}{（{x-2}）^2}+alnx$，x∈（1，+∞），
可得f′（x）=x-2+$\frac{a}{x}$，
函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{2}{（{x-2}）^2}+alnx$在（1，+∞）上是減函數(shù)，
可得-x+2+$\frac{a}{x}$＜0，在x∈（1，+∞）上恒成立，
即a＜x²-2x在x∈（1，+∞）上恒成立，
函數(shù)g（x）=x²-2x的對稱軸為：x=1，在x∈（1，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)的最小值為：g（1）=1．
可得a≤1．
實數(shù)a的取值范圍是：（-∞，1]．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)恒成立，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．