Question

7．設函數f（x）=log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）求證：函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增．

Answer 1

分析 （1）利用$\sqrt{{x}^{2}+1}$＞|x|≥-x，可以$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x＞0恒成立，得出定義域，
（2）根據奇偶性定義證明．
（3）利用單調性定義證明，關鍵$\sqrt{{x}_{1}^{2}+1}$+x₁$＜\sqrt{{x}_{2}^{2}+1}$+x₂，根據對數函數性質證明．

解答 解：函數f（x）=log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）
（1）$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x＞0
∵$\sqrt{{x}^{2}+1}$＞|x|≥-x，
∴$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x＞0恒成立
函數f（x）的定義域：（-∞，+∞）
（2）∵f（-x）=log_2（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=-log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）=-f（x）
∴函數f（x）為奇函數；
（3）設任意實數x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂，
∵$\sqrt{{x}_{1}^{2}+1}$+x₁$＜\sqrt{{x}_{2}^{2}+1}$+x₂，
∴l(xiāng)og₂（$\sqrt{{x}_{1}^{2}+1}$+x₁）＜log₂（$\sqrt{{x}_{2}^{2}+1}$+x₂）
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增．

點評 本題考察了函數的性質，綜合運用解決問題，屬于中檔題，關鍵是利用概念，不等式轉化證明．