已知函數(shù)f(x)=
2x-12x+1
．
（1）判斷f（x）的奇偶性并給出證明；
（2）若f（x）=2x•k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．
分析：（1）要判定函數(shù)的奇偶性，只有按照定義進(jìn)行，即先求函數(shù)的定義域，再判定f（-x）與f（x）的關(guān)系．
（2）若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則說(shuō)明等號(hào)左右的兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程用△來(lái)處理．
解答：解：函數(shù)f(x)=
2x-1
2x+1
為R上的奇函數(shù)．
證明：由題得函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
又f（-x）=
2-x-1
2-x+1
=
1-2x
2x
2x+1
2x
=
1-2x
1+2x
=-f（x）
故函數(shù)f(x)=
2x-1
2x+1
在R上為奇函數(shù)．

（2）由f（x）=2x•k 整理得：
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
=2x•k
設(shè)2x=t，則t＞0，上式可化為1-
2
t+1
= t•k，
化簡(jiǎn)得kt2+（k-1）t+1=0，由題可知該式有兩個(gè)不等的實(shí)根．
所以，判別式△=（k-1）2-4k＞0
解得，k＞3+2
2
，或k＜3-2
2
．
故k的取值范圍為 k＞3+2
2
，或k＜3-2
2
．
點(diǎn)評(píng)：1、定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要（但不充分）條件．
2、判定函數(shù)奇偶性常見(jiàn)步驟：
①判定其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
②判定f（x）與f（-x）的關(guān)系．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過(guò)點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對(duì)一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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