Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在圓C上，求點(diǎn)P到直線x-y-5=0距離的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)，找出圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)出直線l的方程為x+y+m=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，讓距離等于半徑列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，進(jìn)而確定出直線l的方程；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線x-y-5=0的距離d，所以點(diǎn)P到直線x-y-5=0距離的最大值為d+r，最小值為d-r，利用d與r的值代入即可求出值．

解答：解：（1）圓C的方程可化為（x+1）²+（y-2）²=2，
即圓心的坐標(biāo)為（-1，2），半徑為

2

，
因?yàn)橹本�l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
所以可設(shè)直線l的方程為 x+y+m=0，
于是有

|-1+2+m|

1+1

=

2

，得m=1或m=-3，
因此直線l的方程為x+y+1=0或x+y-3=0；
（2）因?yàn)閳A心（-1，2）到直線x-y-5=0的距離為

|-1-2-5|

1+1

=4

2

，
所以點(diǎn)P到直線x-y-5=0距離的最大值與最小值依次分別為5

2

和3

2

．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握直線與圓位置關(guān)系的判別方法，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡求值，是一道中檔題．