Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（3）若，過原點分別作曲線的切線、，且兩切線的斜率互為倒數(shù)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）答案見解析；（3）見解析.

【解析】

(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的值域；

(3)首先確定函數(shù)的切線方程，據(jù)此確定函數(shù)的切線方程滿足的條件，得到關(guān)于橫坐標(biāo)的函數(shù)解析式，據(jù)此構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)之后分類討論即可證得題中的結(jié)論.

（1）當(dāng)時，，定義域為.

令，得增區(qū)間為；令，得減區(qū)間為.

（2）.

當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，故，

從而的值域為；

當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，故，

從而的值域為；

當(dāng)時，時，，遞增；，，遞減

故的最大值為；最小值為與中更小的一個，

當(dāng)時，最小值為；

當(dāng)時，，最小值為.

綜上所述，當(dāng)時，值域為；

當(dāng)時，值域為；

當(dāng)時，值域為；

當(dāng)時，值域為.

（3）設(shè)切線對應(yīng)切點為，切線方程為，

將代入，解得，從而.

設(shè)與曲線的切點為，解得①

切線方程為，將代入，得②

將①代入②，得，

令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

若，由，則.

而在上單調(diào)遞減，故；

若，因在區(qū)間上單調(diào)增，且，

所以，與題設(shè)矛盾，故不可能.

綜上所述，.