【題目】已知函數(shù),其中

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是,若不等式對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)設(shè)函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1);(2);(3)

【解析】

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,(1),可得(1).利用點(diǎn)斜式即可得出切線方程.

(Ⅱ),.不等式,化為:.令上恒成立,(1).可得上恒成立,化為:即可得出.

(Ⅲ)根據(jù)可得關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,根據(jù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),,可得=0在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,.因此,得出a的取值范圍.并根據(jù),滿足,代入簡(jiǎn)化,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出結(jié)果.

解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),(1)

,(1)

曲線在點(diǎn)(1,)處的切線方程為:,化為:

(Ⅱ),

不等式,即,化為:

上恒成立,(1)

上恒成立,化為:

的取值范圍是

(Ⅲ)設(shè)函數(shù),

,

存在兩個(gè)極值點(diǎn),

上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,

因此,且

解得

,,滿足,

化為:

化為:,

(a),(1)

,

(a)在上單調(diào)遞增,

實(shí)數(shù)的取值范圍是

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,圓與橢圓在第一象限交于點(diǎn),在第二象限交于點(diǎn).

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(2)求的最小值,并求出此時(shí)圓的方程;

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【題目】已知函數(shù)的最小值為,其中.

(1)的值;

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(3)證明:

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