Question

已知向量

a

、

b

的夾角為60°，且|

a

|=1，|

b

|=2，設(shè)

m

=3

a

-

b

，

n

=t

a

+2

b

（1）若

m

⊥

n

，求實數(shù)t的值；
（2）當(dāng)t=2時，求

m

與

n

的夾角．

Answer 1

分析：（1）由題，由

m

⊥

n

可得

m

•

n

=0，代入已知條件，即可得到關(guān)于t的方程，解此方程即可求出t的值；
（2）將t=2代入，得

n

=2

a

+2

b

，可先計算出

m

•

n

與兩向量的模，代入公式cos＜

m

，

n

＞=

m •  n

| m || n |

即可求得兩向量夾角的余弦，再由反三角函數(shù)表示出角即可

解答：解：（1）由題意向量

a

、

b

的夾角為60°，且|

a

|=1，|

b

|=2，設(shè)

m

=3

a

-

b

，

n

=t

a

+2

b

∵

m

⊥

n

∴

m

•

n

=0
∴(3

a

-

b

)•(t

a

+2

b

)=0，即3t-8+2（6-t）cos60°=0，解得t=-3
（2）當(dāng)t=2時，

n

=2

a

+2

b

∴

m

•

n

=(3

a

-

b

)•(2

a

+2

b

)=6-8+4=2
|

m

|=|

m

|=

(3 a - b )2

=

9+4-6

=

7

，|

n

|=

(2 a +2 b )2

=

4+16+8

=2

7

∴cos＜

m

，

n

＞=

m •  n

| m || n |

=

2

7 ×2 7

=

1

7

∴

m

與

n

的夾角為arccos

1

7

點評：本題考察了數(shù)量積表示的兩向量垂直的條件，兩向量夾角的數(shù)量積表示及數(shù)量積的運算，求向量的模，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量垂直的條件與向量夾角的表示，本題涉及到向量中的多個知識點，知識覆蓋面廣，屬于向量在的中檔題，考察了方程的思想，轉(zhuǎn)化的思想