Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是矩形，且，AB=AP，PA⊥底面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF為AD及PC的公垂線（2）求直線BD與平面BEF所成的角．

Answer 1

【答案】分析：方法一：（1）利用空間向量，欲證EF為AD及PC的公垂線，因為E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別在AD，PC上，只需證明，，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的數(shù)量積公式計算即可．
（2）欲求直線BD與平面BEF所成的角，只需把求出EF的方向向量與平面BEF的法向量所成的角，則求直線BD與平面BEF所成的角等于該角或其補(bǔ)角．
方法二：（1）欲證EF為AD及PC的公垂線，因為E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別在AD，PC上，只需證明EF⊥PC，EF⊥AD，連接FO、OE、EP、EC，通過夠造的三角形EPC為等腰三角形，證明EF⊥PC，利用三垂線定理證明EF⊥AD．
（2）欲求直線BD與平面BEF所成的角，只需找到直線BD在平面BEF上的射影，則BD與它的射影所成角即為所求．過O作OH⊥平面EFB于H，連BH，∠OBH為所求BD與平面EFB所成的角，再利用等體積法求出OH即可．
解答：解；方法一：
設(shè)AB=1，則
（1）A（0，0，0）B（0，1，0）P（0，0，1） 
∴ 
∴AD⊥EF    PC⊥EF
故PC為AD及EF的公垂線                            
（2） 
∴PC⊥EB∴PC⊥平面EFB故可看成平面EFB的法向量
故
方法二：
（1）連FO、OE、EP、EC∵EP²=EA²+AP² EC²=ED²+CD²
又∵AB=AP=CD    EA=ED∴EP=EC
又∵F為PC的中點(diǎn)∴EF⊥PC
又∵OF∥AP∴OF⊥平面ABCD
而OE⊥AD∴EF⊥AD
故EF為AD及PC的公垂線                             
（2）過O作OH⊥平面EFB于H，連BH，∠OBH為所求BD與平面EFB所成的角                                                
設(shè)AB=1
∴EF²+BF²=BE²∴V_O-EFB=V_F-OEB
∴
點(diǎn)評：本題主要考查了兩異面直線公垂線的判斷，以及直線與平面所成角的求法，綜合考查了學(xué)生的識圖能力，空間想象力，計算能力．