Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣mx+m，m、x∈R．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為R，求m的取值范圍；
（2）若實(shí)x1 ， x2數(shù)滿足x1＜x2 ， 且f（x1）≠f（x2），證明：方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]至少有一個(gè)實(shí)根x0∈（x1 ， x2）；
（3）設(shè)F（x）=f（x）+1﹣m﹣m2 ， 且|F（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）＞0的解集為R，

∴判別式△=m2﹣4m＜0，得0＜m＜4．

（2）解：證明：令g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]，

易知g（x）在其定義域內(nèi)連續(xù)，

且g（x1）g（x2）={f（x1）﹣ [f（x1）+f（x2）]}{f（x2）﹣ [f（x1）+f（x2）]}

=﹣ [f（x1）﹣f（x2）]2＜0，

則g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]在（x1，x2）上有零點(diǎn)，

即方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]至少有一個(gè)實(shí)根x0∈（x1，x2）；

（3）解：F（x）=f（x）+1﹣m﹣m2=x2﹣mx+1﹣m2，

△=m2﹣4（1﹣m2）=5m2﹣4，函數(shù)的對(duì)稱軸為x= ，

①當(dāng)△=0時(shí)，5m2﹣4=0，即m=± ，

若m= ，則對(duì)稱軸為x= ∈[0，1]，則在[0，1]上不單調(diào)遞增，不滿足條件．

若m=﹣ ，則對(duì)稱軸為x=﹣ ＜0，則在[0，1]上單調(diào)遞增，滿足條件．

②當(dāng)△＜0時(shí)，﹣ ＜m＜ ，此時(shí)f（x）＞0恒成立，若|F（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，

則x= ≤0，即m≤0，此時(shí)，﹣ ＜m≤0．

③當(dāng)△＞0，m＜﹣ 或m＞ ，對(duì)稱軸為x= ．

當(dāng)m＜﹣ 時(shí)，對(duì)稱軸為x=﹣ ＜0，要使|F（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，

則只需要F（0）≥0即可，此時(shí)F（0）=1﹣m2≥0，得﹣1≤m1，

此時(shí)﹣1≤m＜﹣ ．

若m＞ ，對(duì)稱軸為x＞ ，則要使|F（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，

此時(shí)F（0）=1﹣m2＞0，只需要對(duì)稱軸 ≥1，所以m≥2．

此時(shí)m≥2，

綜上﹣1≤m≤0或m≥2．

【解析】（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為R，轉(zhuǎn)化為別式△=m2﹣4m＜0進(jìn)行求解決即可．（2）令g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]，從而利用函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]在（x1 ， x2）上有零點(diǎn)，從而證明方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]至少有一個(gè)實(shí)根x0∈（x1 ， x2）；（3）化簡(jiǎn)F（x）=f（x）+1﹣m﹣m2=x2﹣mx+1﹣m2 ， 從而轉(zhuǎn)化|F（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，分判別式大于或等于0以及判別式小于0兩種情況討論，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減即可以解答此題．