Question

直線y=x+b（b≠0）與拋物線C：y=

1

2

x²交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2）O為拋物線的頂點(diǎn)，求b的值使得以線段AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先將拋物線C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可得拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與拋物線方程，可得x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b，y₁y₂=b²，若以線段AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則

OA

⊥

OB

，則x₁x₂+y₁y₂=0，解得滿足條件的b值．

解答： 解：（1）拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=2y，
則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

1

2

），
準(zhǔn)線方程為y=-

1

2

；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2=2y y=x+b

得：x²-2x-2b=0，
則x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b，則y₁y₂=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=b²，
若以線段AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=b²-2b=0，
解得：b=2，或b=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，向量垂直的充要條件，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．