Question

【題目】已知直線l的方程為x=﹣2，且直線l與x軸交于點(diǎn)M，圓O：x2+y2=1與x軸交于A，B兩點(diǎn)．
（1）過(guò)M點(diǎn)的直線l1交圓于P、Q兩點(diǎn)，且圓孤PQ恰為圓周的 ，求直線l1的方程；
（2）若橢圓中a，c滿足 =2，求中心在原點(diǎn)，且與圓O恰有兩個(gè)公共點(diǎn)的橢圓方程；
（3）過(guò)M點(diǎn)作直線l2與圓相切于點(diǎn)N，設(shè)（2）中橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 求三角形△NF1F2面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PQ為圓周的 ，∴ ．∴O點(diǎn)到直線l1的距離為 ．

設(shè)l1的方程為y=k（x+2），∴ ，∴ ．∴l(xiāng)1的方程為 ．

（2）解：設(shè)橢圓方程為 ，半焦距為c，則 ．∵橢圓與圓O恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，根據(jù)橢圓與圓的對(duì)稱性

則a=1或b=1．

當(dāng)a=1時(shí)， ，∴所求橢圓方程為 ；

當(dāng)b=1時(shí)，b2+c2=2c，∴c=1，∴a2=b2+c2=2．

所求橢圓方程為 ．

（3）解：設(shè)切點(diǎn)為N，則由題意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，則∠NMO=30°，

N點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，

若橢圓為 ．其焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2

分別為點(diǎn)A，B故 ，

若橢圓為 ，其焦點(diǎn)為 ，

此時(shí)

【解析】（1）由PQ為圓周的 ，可得 ．O點(diǎn)到直線l1的距離為 ．再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．（2）設(shè)橢圓方程為 ，半焦距為c，則 ，利用橢圓與圓的對(duì)稱性質(zhì)即可得出．（3）設(shè)切點(diǎn)為N，則由題意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，則∠NMO=30°，N點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出．