是否存在a、b使函數(shù)f(x)=
ax+bx
的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,若不存在,請(qǐng)說明理由;若存在,求出a、b的值.
分析:本題是研究存在性的探索性問題,屬于開放性題目,解題的切入點(diǎn)就是:假設(shè)滿足條件的a、b是存在的,然后按存在去求,求出了自然就是存在的,求不出來自然是不存在,過程就是最好的理由,本題同時(shí)考查反函數(shù)的求法.
解答:解:假設(shè)滿足條件的a,b存在,
可設(shè)y=
ax+b
x
,解x得:x=
b
y-a
,
將x,y交換得:y=
b
x-a

∵函數(shù)f(x)=
ax+b
x
的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱
∴函數(shù)y=
ax+b
x
和y=
b
x-a
同一函數(shù),
則a=0,b∈R且b≠0為所求
所以滿足條件的a,b存在,且a=0,b為不等于零的任意實(shí)數(shù).
點(diǎn)評(píng):此題的解題過程重點(diǎn)還是根據(jù)已知條件求反函數(shù),在求出反函數(shù)后注意兩個(gè)解析式的對(duì)照,這是獲得準(zhǔn)確結(jié)果的重要環(huán)節(jié),本題還要注意b的取值,容易忽視b≠0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.
(1)若f(-1)=0,試判斷函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)若對(duì)x1x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),證明方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]
必有一個(gè)實(shí)數(shù)根屬于(x1,x2).
(3)是否存在a,b,c∈R,使f(x)同時(shí)滿足以下條件
①當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)f(x)有最小值0;
②對(duì)任意x∈R,都有0≤f(x)-x≤
(x-1)2
2
若存在,求出a,b,c的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c
(1)若f(-1)=0,試判斷函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)若對(duì)任意的x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2)(a>0),試證明:
1
2
[f(x1)+f(x2)]>f(
x1+x2
2
)成立.
(3)是否存在a,b,c∈R,使f(x)同時(shí)滿足以下條件:
①對(duì)任意x∈R,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥0;
②對(duì)任意的x∈R,都有0≤f(x)-x≤
1
2
(x-1)2
?若存在,求出a,b,c的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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